现在很多农村的生育政策是这样的:如果第一胎是男孩,则不准再生;如果第一胎是女孩,则可以再生第二胎;如果第二胎是男孩,则不准再生,反之则可以再生第三胎;此规矩一直继续下去,直到总共生了n个孩子(很多地方n=3),则不论第n个孩子是男是女,都不允许再生。

以前一直觉得这种政策会让女孩的出生人数高于男孩(可能我自己就希望事实是这样),后来看了一道google的题目才知道这种直觉是错误的。如果假设每胎生男生女的概率一样,则上面的政策可以保证每个家庭里男孩女孩的期望数量相等。我下面以某家人为例,严格说明为什么。

首先说明男孩的期望数量:如果第一胎是男孩,则生育过程结束,概率为1/2;如果第一胎为女孩,而第二胎为男孩,则生育过程结束,概率为1/4;这个过程继续下去,一直到第n胎,如果前n-1胎都是女孩,第n胎是男孩,此时的概率为 (1/2)^n 。所以合并起来这个家庭的男孩期望数量为:

女孩的期望数量:如果第一胎是男孩,则生育过程结束,以1/2的概率有0个女孩;如果第一胎为女孩,而第二胎为男孩,则生育过程结束,以1/4的概率有1个女孩;这个过程继续下去,一直到第n胎,如果前n-1胎都是女孩,第n胎是男孩,此时此家庭以概率(1/2)^n有n-1个女孩;但如果第n胎也是女孩,则此家庭有n个女孩,概率为(1/2)^n 。所以合并起来这个家庭的女孩期望数量为:

验证一下就能发现:

上面的证明方法也可以推广到n=∞ 的时候,结论仍然成立。