现在很多农村的生育政策是这样的：如果第一胎是男孩，则不准再生；如果第一胎是女孩，则可以再生第二胎；如果第二胎是男孩，则不准再生，反之则可以再生第三胎；此规矩一直继续下去，直到总共生了n个孩子（很多地方n=3），则不论第n个孩子是男是女，都不允许再生。
以前一直觉得这种政策会让女孩的出生人数高于男孩（可能我自己就希望事实是这样），后来看了一道google的题目才知道这种直觉是错误的。如果假设每胎生男生女的概率一样，则上面的政策可以保证每个家庭里男孩女孩的期望数量相等。我下面以某家人为例，严格说明为什么。
首先说明男孩的期望数量：如果第一胎是男孩，则生育过程结束，概率为1/2；如果第一胎为女孩，而第二胎为男孩，则生育过程结束，概率为1/4；这个过程继续下去，一直到第n胎，如果前n-1胎都是女孩，第n胎是男孩，此时的概率为 (1/2)^n 。所以合并起来这个家庭的男孩期望数量为：
\[\frac12 + \left( \frac12 \right)^2 + ... + \left( \frac12 \right)^n \ \ 。\]女孩的期望数量：如果第一胎是男孩，则生育过程结束，以1/2的概率有0个女孩；如果第一胎为女孩，而第二胎为男孩，则生育过程结束，以1/4的概率有1个女孩；这个过程继续下去，一直到第n胎，如果前n-1胎都是女孩，第n胎是男孩，此时此家庭以概率(1/2)^n有n-1个女孩；但如果第n胎也是女孩，则此家庭有n个女孩，概率为(1/2)^n 。所以合并起来这个家庭的女孩期望数量为：
\[0 \times \frac12 + 1 \times \left( \frac12 \right)^2 + ... + (n-1) \times \left( \frac12 \right)^n + n \times \left( \frac12 \right)^n 。\]验证一下就能发现：
\[\frac12 + \left( \frac12 \right)^2 + ... + \left( \frac12 \right)^n = 0 \times \frac12 + 1 \times \left( \frac12 \right)^2 + ... + (n-1) \times \left( \frac12 \right)^n + n \times \left( \frac12 \right)^n \ 。\]上面的证明方法也可以推广到n=∞ 的时候，结论仍然成立。
